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By Greg Michaelson

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Weil für jedes k die Ungleichung nk ≤ nn gilt, folgt aus der LYM-Ungleichung 2 αk k≤n was, wie behauptet, k≤n αk ≤ n n 2 n n 2 ≤ αk n k≤n k nach sich zieht. ≤ 1, 46 4 Enthaltensein von Figuren Übungsaufgaben 15. Alle A × B-Rechtecke mit A, B ∈ {1, 2, 3, 4, 5} (cm) sollen aus Platinfolie ausgeschnitten werden und einzeln fotografiert werden. Es wird aber nicht verlangt, dass die Rechtecke gleichzeitig vorliegen; vielmehr ist es erlaubt, ein bereits fotografiertes Rechteck zu zerschneiden, um weitere Rechtecke zu erhalten.

Der Satz von Dilworth besagt, dass hier auch die Umkehrung gilt. Satz 7 (Satz von Dilworth) Sei n eine natürliche Zahl. Eine geordnete Menge hat genau dann Weite n, wenn sie mit n Ketten überdeckt werden kann, aber nicht mit weniger als n Ketten. Beweis Der Beweis erfolgt zunächst für endliche geordnete Mengen ( J, ≤), und zwar per Induktion über J, einer Idee von H. Tverberg folgend. Sei also ( J, ≤) eine geordnete Menge der Weite n und A ⊆ J eine n-elementige Antikette. 1. Fall: A kann so gewählt werden, dass A weder ganz aus maximalen noch ganz aus minimalen Elementen von ( J, ≤) besteht.

Wegen der Hinzunahme der Reflexivität können dabei einelementige Ketten vorkommen; solche entstehen aus isolierten Elementen von ( J, ≤). Jedes Element von J kommt in (genau) einer dieser Ketten vor. Wieviele Ketten sind das? Ein Element a von J ist genau dann maximales Element eines dieser Ketten, wenn a nicht das kleinere Element einer Kante a < b aus M ist. Die Anzahl solcher maximalen Elemente, und damit die Anzahl der Ketten, ist also |J| − |M| = |A|. Zum Auffinden maximaler Matchings gibt es bekannte Algorithmen, beispielsweise den von Hopcroft und Karp.

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