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By Forster

Dieses seit über 30 Jahren bewährte Standardwerk ist gedacht als Begleittext zur Analysis-Vorlesung des ersten Semesters für Mathematiker, Physiker und Informatiker. Bei der Darstellung wurde besonderer Wert darauf gelegt, in systematischer Weise, aber ohne zu große Abstraktionen zu den wesentlichen Inhalten vorzudringen und sie mit vielen konkreten Beispielen zu illustrieren. An verschiedenen Stellen wurden Bezüge zur Informatik hergestellt. Einige numerische Beispiele wurden durch Programm-Codes ergänzt, so dass die Rechnungen direkt am laptop nachvollzogen werden können. Die vorliegende nine. Auflage wurde an mehreren Stellen weiter überarbeitet und es wurden einige neue Abbildungen und Übungsaufgaben ergänzt.

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5) lim n n→∞ 2n = 0. Beweis. F¨ur alle n > 3 gilt n2 2n , wie man durch vollst¨andige Induktion beweist (vgl. 1). Daraus folgt n 1 n2 1, also . 2n 2n n Sei ε > 0 vorgegeben und N > max(3, 1/ε). d. Bevor wir die n¨achsten Beispiele behandeln, f¨uhren wir noch einen weiteren wichtigen Begriff ein. Definition (Beschr¨anktheit von Folgen). Eine Folge (an)n∈N reeller Zahlen heißt nach oben (bzw. nach unten) beschr¨ankt, wenn es eine Konstante K ∈ R gibt, so dass an K f¨ur alle n ∈ N (bzw. an K f¨ur alle n ∈ N).

1) Die durch an := (−1)n definierte Folge (an ) besitzt die H¨aufungspunkte +1 und −1. Denn es gilt lim a2k = 1 und k→∞ lim a2k+1 = −1 . 2) Die Folge an := (−1)n + 1n , n 1, besitzt ebenfalls die beiden H¨aufungspunkte +1 und −1, denn es gilt 1 lim a2k = lim 1 + =1 k→∞ k→∞ 2k und analog lim a2k+1 = −1. 3) Die Folge an := n, n ∈ N, besitzt keinen H¨aufungspunkt, da jede Teilfolge unbeschr¨ankt ist, also nicht konvergiert. 4) Die Folge an := n falls n gerade, 1 n falls n ungerade, ist unbeschr¨ankt, besitzt aber den H¨aufungspunkt 0, da die Teilfolge (a2k+1 )k∈N gegen 0 konvergiert.

Beweis. Die Folge (an ) konvergiere gegen a. Dann gibt es zu vorgegebenem ε > 0 ein N ∈ N, so dass ε |an − a| < f¨ur alle n N . d. Die Umkehrung von Satz 1 formulieren wir nun als Axiom. Vollst¨andigkeits-Axiom. In R konvergiert jede Cauchy-Folge. Bemerkung. Wir werden im n¨achsten Paragraphen mithilfe des Vollst¨andigkeits-Axioms die Existenz der Quadratwurzeln aus jeder positiven reellen Zahl beweisen. Dies ist mit den bisherigen Axiomen allein noch nicht m¨oglich. B. folgen, dass die Quadratwurzel aus 2 rational ist, was aber falsch ist.

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